Vad gäller punkten p om andraderivatan är 0
En derivata är en funktion som anger förändringshastigheten hos en annan känd funktion. Exempelvis kan positionen för en bil i rörelse beskrivas som en funktion av tiden sedan bilen sattes i rörelse. Derivatan av denna funktion beskriver bilens hastighet hur mycket läget för bilen förändras inom den närmaste framtiden och derivatan av hastigheten är bilens acceleration hur mycket hastigheten förändras.
Derivata är ett grundläggande begrepp inom matematisk analys. Den enklaste formen av derivata är derivatan av en reellvärd funktion av en reell oberoende variabel, där derivatan är den hastighet med vilken funktionsvärdet ändras i den punkt som svarar mot den oberoende variabelns värde. Då förändringshastigheten hos en funktion inte måste vara konstant med avseende på den oberoende variabeln, är även derivatan en funktion av denna.
Derivatan av funktionen f i punkten x 0 definieras som gränsvärdet.
Andraderivatan
Om gränsvärdet existerar i en punkt x 0 sägs funktionen vara deriverbar i punkten x 0. Om funktionen är deriverbar i varje punkt i definitionsmängden sägs funktionen vara deriverbar. Om funktionen endast är deriverbar i vissa intervall, måste intervallen anges som villkor för deriverbarheten. Om derivatan av f är kontinuerlig sägs funktionen f vara kontinuerligt deriverbar.
Detta kan visas med derivatans definition:. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten xf x. Tangentens lutning kan approximeras med sekantens lutning i ett litet område kring punkten x. Om en funktion är deriverbar i en punkt, så är den även kontinuerlig i denna punkt. Det motsatta förhållandet behöver inte gälla, vilket visas av bland annat Weierstrass exempel.
Ett enklare exempel än Weierstrass ges av absolutbelopps-funktionen :. Denna är en kontinuerlig funktion som är deriverbar för varje tal xmed undantag av talet noll:. Funktionens derivata är odefinierad för talet noll.
varför blir det 0 vid andra derivatan?
Däremot har funktionen en höger- och en vänsterderivata för talet noll: Högerderivatan i noll är 1 och vänsterderivatan i noll är Om höger- och vänsterderivatan i en punkt existerar och har samma värde så existerar även derivatan i denna punkt. Om man beräknar derivatan av en funktions derivata erhåller man en andra ordningens derivataäven kallad andraderivata.
Beräknar man derivatan av denna får man tredjederivatan och så vidare. Om risk för förväxling föreligger kallas derivatan av ursprungsfunktionen förstaderivata. Som tidigare nämnts finns ett flertal olika notationer för derivata. Med undantag av Newtons notation innebär dessa vanligen ingen skillnad i natur. Olika områden inom matematiken har dock vanligen en notation som vanligen används.
Den enklaste varianten som används är Joseph Louis Lagrangesnämligen primtecknet :. Den andra typen av notation har fått sitt namn efter Gottfried Leibniz. Även om Leibniz notation kan tyckas något otymplig är den lämplig att använda bland annat vid tillämpning av kedjeregeln och vid lösning av differentialekvationerpå grund av dess tydliggörande av differentialerna.
Isaac Newtons notation använder en punkt över funktionen för att beteckna derivata. Den används idag främst inom mekanik för att beteckna derivator med avseende på tidenför att särskilja dessa från derivator med avseende på rummet. Den används vanligen endast för första och andra ordningens derivator:. Leonhard Euler introducerade en notation baserad på en differentieringsoperator :.
Vid derivering är det oftast onödigt komplicerat att utgå från derivatans definition; istället har man utifrån definitionen härlett derivatorna till de elementära funktionerna och uttryck sammansatta av sådana.
Andraderivata
Dessa kan man utgå från vid problemlösning. Produkten av två n gånger deriverbara funktioner är också n gånger deriverbar; den n :te derivatan ges av formeln uppkallad efter den tyske matematikern Gottfried Wilhelm von Leibniz. En sammansatt funktion f g x är en funktion f x som har en annan funktion g x som sitt argument, istället för en variabel som x. Derivatan av en sammansatt funktion går under namnet kedjeregeln :.
Inom sannolikhetsteori och statistik är denna funktion av stor betydelse då den utgör fördelningsfunktionen för normalfördelningen :.
Andraderivata 0
Dess betydelse härrör från den berömda Centrala gränsvärdessatsen. Inversens derivata kan beräknas med formeln ovan. Eftersom differenskvoten alltid är lika med talet ett, kommer dess gränsvärde också att vara lika med talet ett:. Först beräknas funktionens differenskvot för en godtycklig punkt x i funktionens definitionsmängd:.